Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений, методом введения новой переменной»
Тип урока: урок изучения нового материала
Цели урока: Образовательная: закрепить знания и умения решения простейших
тригонометрических уравнений, научить решать тригонометрические уравнения
методом введения новой переменной.
Развивающая: развить умение решения тригонометрических уравнений, развить
способность быстро и верно определять тип уравнения и способ его решения.
Воспитательная: формировать культуру труда и уважения друг к другу.
План урока: 1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.
3. Актуализация знаний.
4. Изучение нового материала.
5. Закрепление нового материала.
6. Физкультминутка.
7. Первичный контроль знаний.
8. Подведение итогов.
9. Рефлексия.
10. Домашнее задание.
Ход урока.
1. Организационный момент .
2. Проверка домашнего задания. 18 № 13(в)
3. Актуализация знаний. Решить уравнение:
sin x = 0cos х = 1
cos х = 2
tg x =
с tg х = 0
х 2 + 3х =0
х 2 – 9 = 0
3х 2 + 29 = 0
х 2 +5х +6 = 0
х 4 +2х 2 – 3 = 0
Как называются уравнения, записанные в левой колонке? в правой колонке?
Какими методами применяли для решения уравнений, левой колонки?
sin 2 x - 6 sin x + 5 =0
Как вы думаете, а какая тема урока будет сегодня?
Открыли тетради записали число, классная работа, тема урока: « Решение тригонометрических уравнений, методом введения новой переменной».
Какую цель поставим на урок? Научить решать тригонометрические уравнения, методом замены переменной.
4. Изучение нового материала.
На данном занятии будут рассмотрены наиболее часто встречающийся метод решения тригонометрических уравнений.
Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным .
К этому классу могут быть отнесены уравнения, в которые входят одна функция (синус или косинус, тангенс или котангенс) или две функции одного аргумента, но одна их них с помощью основных тригонометрических тождеств сводится ко второй. а sin 2 x + bsin x + c =0, a .
Например, если c о s х входит в уравнение в четных степенях, то заменяем его на 1- sin 2 x , если sin 2 x , то его заменяем на 1- cos 2 x .
5. Закрепление нового материала.
Пример.
Решить уравнение: sin 2 x - 6 sin x + 5 =0, 2 sin 2 х - 3 cos х -3 = 0 .
6. Физкультминутка.
Задание для снятия утомляемости глаз: нельзя водить руками, а лишь только глазами В таблице расположены числа от 1 до 20, но четыре числа пропущены. Ваша задача: назвать эти числа.
7. Первичный контроль
Работа в парах: решить уравнение:
1. 3tg 2 x +2 tg x-1=0;
2. 5sin 2 x+ 6cos x -6 = 0.
Обсуждаем решения уравнений, решаем, а затем проверяем решения с доской.
1. 3 tg 2 x +2 tg x -1= 0Пусть tg x = t .
3 t 2 + 2 t – 1 = 0
D = 16
t 1 = , t 2 = -1.
tg x = или tg x = -1
х = arctg + Z x = - + Z
2. 5 sin 2 x + 6cos x - 6 = 0
5( 1 - с os 2 x ) + 6cos x - 6 = 0
5 cos 2 x - 6cos x +1 = 0
Пусть cos x =t.
5 t 2 - 6 t + 1 = 0
D = 16
t 1 = , t 2 = 1.
Вернёмся к исходной переменной:
cos x = или cos x = 1
х = arccos + Z x = Z
8. Закрепление.
Решите уравнения:
1. 2 с tg 2 x + 3 с tg x + 3= 5;
2. 2sin 2 - sin х + 2 = 3.
1. Решите уравнение 2 cos 2 x - 3 cos (x ) - 3 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [ - ; ].
2. 3tg x - 2 с tg x = 5
Каждый вариант решает уравнения и сверяется с ответами на доске. За эту работу ребята себя сами оценивают. Листочки с решениями сдают. На следующем уроке объявлю оценки за эту работу.
8. Подведение итогов .
Вспомните: Какая тема урока? Какую цель мы сегодня поставили на урок? Достигли ли нашей цели?
9. Рефлексия.
"На сегодняшнем уроке я разобрался…";
"Я похвалил бы себя…";
"Особенно мне понравилось…";
"Сегодня мне удалось…";
"Я сумел…";
"Было трудно…";
"Я понял, что…";
"Теперь я могу…";
"Я почувствовал, что…";
"Я научился…";
"Меня удивило…"
10. Домашнее задание.
1) §18, № 6(в), 8(б), 9(а), 21(а).
2) §18, № 7(б), 9(г). Задачи №1 или 2.
1. Решите уравнение + 4 tg x - 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [ ; ].2. = 0.
Работа в парах
1. 3 tg 2 x +2 tg x -1=0;
2. 5 sin 2 x + 6 cos x -6 = 0.
Работа в парах
1. 3tg 2 x +2 tg x-1=0;
2. 5sin 2 x+ 6cos x -6 = 0.
Работа в парах
1. 3 tg 2 x +2 tg x -1=0;
2. 5 sin 2 x + 6 cos x -6 = 0.
Работа в парах
1. 3 tg 2 x +2 tg x -1=0;
2. 5 sin 2 x + 6 cos x -6 = 0.
Работа в парах
1. 3tg 2 x +2 tg x-1=0;
2. 5sin 2 x+ 6cos x -6 = 0.
Домашнее задание:1. Решите уравнение + 4 tg x
[ ; ].
2. Решите уравнение
Домашнее задание:
1. Решите уравнение + 4 tg x - 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку
[ ; ].
2. Решите уравнение
Домашнее задание:
1. Решите уравнение + 4 tg x - 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку
[ ; ].
2. Решите уравнение
Домашнее задание:
1. Решите уравнение + 4 tg x - 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку
[ ; ].
2. Решите уравнение
Домашнее задание:
1. Решите уравнение + 4 tg x - 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку
[ ; ].
2. Решите уравнение
Домашнее задание:
1. Решите уравнение + 4 tg x - 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку
[ ; ].
2. Решите уравнение
Домашнее задание:
1. Решите уравнение + 4 tg x - 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку
[ ; ].
2. Решите уравнение
Домашнее задание:
1. Решите уравнение + 4 tg x - 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку
[ ; ].
2. Решите уравнение
Домашнее задание:
1. Решите уравнение + 4 tg x - 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку
[ ; ].
2. Решите уравнение
Домашнее задание:
1. Решите уравнение + 4 tg x - 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку
[ ; ].
2. Решите уравнение
ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ города Москвы
«Политехнический техникум № 47 имени В.Г.Федорова»
Урок
по дисциплине Математика
«Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным»
Преподаватель
Протасевич Ольга Николаевна
ПРОФЕССИЯ: Наладчик аппаратного и программного обеспечения
ДИСЦИПЛИНА : Математика
КУРС : 1
СЕМЕСТР : 2
ГРУППА :
Тема урока:
«Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным».
Тип урока: комбинированный урок
Форма урока: коллективное обучение по методике В.К. Дьяченко
(обучение в системах малых групп)
Цели урока:
Образовательная – рассмотреть общие подходы, обобщить сведения о видах и методах решения тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным; формировать умения и навыки применения знаний при решении базовых уравнений и применению полученных знаний в профессиональной деятельности.
Развивающая – содействовать развитию логического мышления у обучающихся , развивать умения анализировать, рассуждать, сравнивать, делать выводы, осмысливать материал;
Воспитательная – воспитание познавательного интереса, элементов культуры общения, побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности, формирование навыков работы в трудовом и учебном коллективе.
Задача урока:
Познакомить обучаемых с основными видами и методами решения тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.
Обеспечение (ресурсы):
Аппаратное обеспечение: компьютер, мультимедийный проектор.
Программное обеспечение: Microsoft Excel .
Основные понятия:
Квадратное уравнение; простейшие тригонометрические уравнения; обратные тригонометрические функции; тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным.
Литература:
Башмаков М.И. Математика: учебник для начального и среднего профессионального образования.– М.; «Академия», 2010. - 256 с.
Дьяченко В. К. - М.; «Народное образование», 2001 . - 496 с.
Методическая литература:
Башмаков М.И. Математика: книга для преподавателей. Методическое пособие.- М.; « Академия», 2013 г.- 224 с.
Электронные ресурсы:
Материалы сайта общественно-педагогического движения по созданию коллективного способа обучения: www.kco-kras.ru.
Этапы урока
Организационный момент.
Проверка домашнего задания.
Актуализация опорных знаний.
Изучение нового материала.
Закрепление и систематизация полученных знаний.
Рефлексия. Подведение итогов. Домашнее задание.
Ход урока
Организационный момент.
Преподаватель ставит перед обучаемыми цели урока:
1) Познакомить с основными видами тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным;
2) Познакомить с типовыми методами решения тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.
3) Научить применять полученные знания и умения для решения стандартных уравнений;
4) Научить работать с информацией, представленной в различных формах, осуществлять взаимный контроль и самоконтроль, применять полученные знания в профессиональной деятельности.
II . Проверка домашнего задания.
Преподаватель включает презентацию «Домашнее задание», по которой обучаемые самостоятельно выполняют проверку домашнего задания, при необходимости вносят поправки и исправления в работу.
По просьбе обучаемых преподаватель комментирует решения уравнений, вызвавшие затруднения, после чего объявляет фамилии обучаемых, кто по окончании урока сдает на проверку тетради.
№ 1
Ответ:
№ 2
Ответ:
№ 3
Ответ:
№ 4
т.к. то уравнение корней не имеет
Ответ: корней нет
№ 5
Ответ:
№ 6
Ответ:
III . Актуализация опорных знаний.
Преподаватель формирует учебные группы/пары и предлагает на выданных бланках установить соответствие между уравнениями и ответами: «Перед вами слайд с учебным заданием. Установите соответствие между уравнениями (левая часть таблицы) и ответами (правая часть таблицы). Запишите номера верных пар высказываний в тетрадь».
Указанные задания дублируются на включённой презентации.
Установите соответствие
п/п
Уравнение
п/п
Ответ
Корней нет
По окончании работы преподаватель фронтально опрашивает представителей групп, после чего включает страницу презентации с правильными решениями.
Правильные ответы
п/п
Уравнение
п/п
Ответ
Корней нет
Корней нет
11.
13.
10.
12.
IV . Изучение нового материала.
Преподаватель включает презентацию нового материала «Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным. Типы уравнений и методы их решений».
Предлагает обучаемым записывать необходимые тезисы и начинает комментировать каждый слайд, после чего включает презентацию.
Введем понятие:
Общий вид квадратного уравнения:
1 тип тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным – уравнения, алгебраические относительно одной из тригонометрических функций.
Преподаватель поясняет способы решения.
1. Непосредственная подстановка
Замена ,
и
корней нет
Ответ:
Аналогичное решение имеют уравнения вида
Замена
Замена
2.Уравнения, требующие преобразования по формуле тригонометрической единицы
Замена , тогда уравнение принимает вид
и
Корней нет
Ответ:
Аналогичное решение имеют уравнения вида:
заменим , используя формулу тригонометрической единицы
.
Получим уравнение, содержащее только одну тригонометрическую функцию :
Замена
3.Уравнения, требующие преобразования по формуле связи tgx и с tgx
Применяем формулу:
Умножим уравнение на
Замена , тогда уравнение принимает вид
и
Ответ:
2 тип тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным – однородные уравнения, в которых каждое слагаемое имеет одну и туже степень.
Разделим уравнение на
Замена , тогда уравнение принимает вид
и
Ответ:
Преподаватель предлагает обобщить представленный материал и задает вопросы: «На сколько типов делятся тригонометрические уравнения, сводящихся к квадратным? Их название? Назовите способы решения тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным».
Преподаватель направляет действия обучаемых при составлении алгоритма решения уравнений данного типа.
Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным, делятся на два основных типа:
tgx и с tgx :
2 тип – однородные уравнения, в которых каждое слагаемое имеет одну и ту же степень:
Преподаватель составляет откорректированный Алгоритм решения:
1. Определите тип уравнения. При необходимости преобразуйте уравнение так, что бы в нём присутствовала только одна тригонометрическая функция. Для этого выбери нужную формулу: или или раздели на
2. Вводится замена (например , sinx = t , cosx = t , tgx = t ).
5. Запиши ответ.
Для закрепления полученных знаний преподаватель предлагает установить соответствие между уравнениями и возможными способами их решений: «Перед вами слайд с учебным заданием.
1. Проведите классификацию уравнений по методам решения согласно приведенной ниже таблице
(распечатанные варианты таблицы находятся у вас на столах).
2. Поставьте в соответствующей графе номер метода решения.
Заполните таблицу».
Работа выполняется в парах.
п/п
Уравнение
метода
Методы:
1) Введите новую переменную.
2) Введите новую переменную
3) Введите новую переменную.
4) Преобразуйте уравнение, применив формулу, введите новую переменную.
5) Преобразуйте уравнение, применив формулу, введите новую переменную.
6) Разделите каждый член уравнения на, введите новую переменную.
7) Преобразуйте уравнение применив формулу, умножьте члены уравнения на, введите новую переменную.
Проверка задания осуществляется в форме фронтальной беседы.
Преподаватель: «Перед вами слайд с правильными ответами к учебному заданию . Выполните проверку, сверяясь с правильными ответами к учебному заданию. Выполните работу над ошибками в тетради».
Бланки с заданиями собираются в конце урока.
п/п
Уравнение
метода
2
4
2
1
7
1
3
5
6
3
6
2
6
VI . Закрепление и систематизация полученных знаний.
Преподаватель предлагает обучаемым продолжить работу в группах.
Преподаватель: «Решите уравнения. Выполните проверку результата в редакторе Microsoft Excel . По окончании решения представитель группы выходит к учебной доске и представляет решение уравнения, выполненное группой». Преподаватель проверяет решение, оценивает работу группы и при необходимости указывает на ошибки».
Преподаватель:
1 ) Обсудите способы решения в группе.
2) Запишите решение и полученный ответ в тетрадь.
3) Выполнить проверку результата в редакторе Microsoft Excel .
4) Сообщите о готовности преподавателю.
5) Объясните свое решение, записав его на доске, членам других групп.
6) Вдумчиво выслушайте выступления товарищей, при необходимости задавайте вопросы.
Учебным группам, выполнившим задания в полном объеме, предлагается выполнить задание других групп. Состав успешных групп поощряется повышением итогового балла на одну единицу.
Первая группа:
Применяем формулу:
и
Корней нет
т.к.
Ответ:
Вторая группа:
Применяем формулу:
Замена, тогда уравнение принимает вид
и
Ответ: ;
Третья группа:
Применяем формулу:
Умножим уравнение на
Замена, тогда уравнение принимает вид
и
Ответ:
Четвертая группа:
Разделим уравнение на
Замена, тогда уравнение принимает вид
и
Ответ:
Пятая группа:
Замена, тогда уравнение принимает вид
и
Ответ:; .
VII . Рефлексия. Подведение итогов. Домашнее задание.
Преподаватель: Подведем итоги вашей работы, соотнося результаты вашей деятельности с поставленной целью.
Повторим понятия:
«Тригонометрические уравнения, которые при помощи преобразования и замены переменной приводятся к квадратным называются тригонометрическими уравнениями, сводящимися к квадратным».
1 тип – уравнения, алгебраические относительно одной из тригонометрических функций:
- непосредственная подстановка - замена или;
- уравнения, требующие преобразования по формуле тригонометрической единицы;
- уравнения, требующие преобразования по формуле связи tgx и с tgx :
2 тип – однородные уравнения, в которых каждое слагаемое имеет одну и туже степень: разделим уравнение на,затем замена.
Алгоритм решения:
1. Определите тип уравнения. При необходимости преобразуйте уравнение так, что бы в нём присутствовала только одна тригонометрическая функция.
Для этого выбери нужную формулу:
или или раздели на
2. Вводится замена (например, sinx = t , cosx = t , tgx = t ).
3. Решите квадратное уравнение.
4. Производится обратная замена, и решается простейшее тригонометрическое уравнение.
5. Запиши ответ.
Преподаватель проводит оценивание работы обучаемых, учебных групп и объявляет оценки.
Преподаватель: «Запишите домашнее задание: Башмаков М.И. Математика: учебник для начального и среднего проф. образования.– М.; «Академия», 2010. Стр. 114-115. В номере 10 решить уравнения № 4,5,7,9. стр. 118. Выполните проверку результата в редакторе Microsoft Excel ».
Краткое изложение теоретических вопросов дифференцированного зачета
Для студентов 1 курса
Специальности 23.02.03 «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта»
Уравнение. Корень уравнения. Что значит «решить уравнение»?
Уравнение – это равенство, содержащее переменную.
Корень уравнения - такое значение переменной, которое при подстановке его в уравнение, обращает его в верное числовое равенство.
Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Система уравнений – это совокупность из двух и более уравнений с двумя и более неизвестными; причём решение одного из уравнений является одновременно и решением всех остальных.
Виды уравнений и их решение: линейное, квадратное.
Линейные уравнения – это уравнения вида: ах + b = 0, где a и b – некоторые постоянные. Если а не равно нулю, то уравнение имеет один единственный корень: х = - b: а. Если а равно нулю и b равно нулю, то корнем уравнения ах + b = 0 является любое число. Если а равно нулю, а b не равно нулю, то уравнение ах + b = 0 не имеет корней.
Способы решения линейных уравнений
1) тождественные преобразования
2) графический способ.
Квадратное уравнение - это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c - произвольные числа, причем a ≠ 0.
Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант - это число D = b 2 − 4ac .
1. Если D < 0, корней нет;
2. Если D = 0, есть ровно один корень;
3. Если D > 0, корней будет два.
Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам: Корни квадратного уравнения. Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:
Решение простейших тригонометрических уравнений
Общий вид решения уравнения cos x = a, где | a | ≤ 1, определяется формулой:
x = ± arccos(a) + 2πk, k ∈ Z (целые числа), при | a | > 1 уравнение cos x = a не имеет решений среди вещественных чисел.
Общий вид решения уравнения sin x = a, где | a | ≤ 1, определяется формулой:
x = (- 1)k · arcsin(a) + πk, k ∈ Z (целые числа), при | a | > 1 уравнение sin x = a не имеет решений среди вещественных чисел.
Общий вид решения уравнения tg x = a определяется формулой:
x = arctg(a) + πk, k ∈ Z (целые числа).
Общий вид решения уравнения ctg x = a определяется формулой:
x = arcctg(a) + πk, k ∈ Z (целые числа).
Решение линейных тригонометрических уравнений
Линейные тригонометрические уравнения имеют вид k*f(x) + b = 0, где f(x) – тригонометрическая функция, а k и b - действительные числа.
Для решения уравнения его приводят к простейшему виду путем тождественных преобразований
Решение линейно – комбинированных тригонометрических уравнений
Линейно - комбинированные тригонометрические уравнения имеют вид f(kx + b) = а, где f(x) – тригонометрическая функция, а, k и b - действительные числа.
Для решения уравнения его вводят новую переменную у = kx + b. Решают полученное простейшее тригонометрическое уравнение относительно у и производят обратную замену.
Решение тригонометрических уравнений с использованием формул приведения
Решение тригонометрических уравнений с использованием тригонометрических тождеств
При решении тригонометрических уравнений, не являющихся простейшими, выполняются тождественные преобразования по следующим формулам:
Решение квадратных тригонометрических уравнений
Отличительные признаки уравнений, сводящихся к квадратным:
В уравнении присутствуют тригонометрические функции от одного аргумента или они легко сводятся к одному аргументу.
В уравнении присутствует только одна тригонометрическая функция или все функции можно свести к одной.
Алгоритм решения:
Выполняется подстановка.
Выполняется преобразование выражения.
Вводится обозначение (например, sinx = y).
Решается квадратное уравнение.
Подставляется значение обозначенной величины, и решается тригонометрическое уравнение
При решении многих математических задач , особенно тех, которые встречаются до 10 класса, порядок выполняемых действий, которые приведут к цели, определен однозначно. К таким задачам можно отнести, например, линейные и квадратные уравнения, линейные и квадратные неравенства, дробные уравнения и уравнения, которые сводятся к квадратным. Принцип успешного решения каждой из упомянутых задач заключается в следующем: надо установить, к какому типу относится решаемая задача, вспомнить необходимую последовательность действий, которые приведут к нужному результату, т.е. ответу, и выполнить эти действия.
Очевидно, что успех или неуспех в решении той или иной задачи зависит главным образом от того, насколько правильно определен тип решаемого уравнения, насколько правильно воспроизведена последовательность всех этапов его решения. Разумеется, при этом необходимо владеть навыками выполнения тождественных преобразований и вычислений.
Иная ситуация получается с тригонометрическими уравнениями. Установить факт того, что уравнение является тригонометрическим, совсем нетрудно. Сложности появляются при определении последовательности действий, которые бы привели к правильному ответу.
По внешнему виду уравнения порой бывает трудно определить его тип. А не зная типа уравнения, почти невозможно выбрать из нескольких десятков тригонометрических формул нужную.
Чтобы решить тригонометрическое уравнение, надо попытаться:
1. привести все функции входящие в уравнение к «одинаковым углам»;
2. привести уравнение к «одинаковым функциям»;
3. разложить левую часть уравнения на множители и т.п.
Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений.
I. Приведение к простейшим тригонометрическим уравнениям
Схема решения
Шаг 1. Выразить тригонометрическую функцию через известные компоненты.
Шаг 2. Найти аргумент функции по формулам:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
tg x = a; x = arctg a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
Шаг 3. Найти неизвестную переменную.
Пример.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Решение.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Ответ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Замена переменной
Схема решения
Шаг 1. Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций.
Шаг 2. Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо, ввести ограничения на t).
Шаг 3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение.
Шаг 4. Сделать обратную замену.
Шаг 5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.
Пример.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Решение.
1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;
2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.
2) Пусть sin (x/2) = t, где |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 или е = -3/2, не удовлетворяет условию |t| ≤ 1.
4) sin (x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Ответ: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Метод понижения порядка уравнения
Схема решения
Шаг 1. Заменить данное уравнение линейным, используя для этого формулы понижения степени:
sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Шаг 2. Решить полученное уравнение с помощью методов I и II.
Пример.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Решение.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 · cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Ответ: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Однородные уравнения
Схема решения
Шаг 1. Привести данное уравнение к виду
a) a sin x + b cos x = 0 (однородное уравнение первой степени)
или к виду
б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (однородное уравнение второй степени).
Шаг 2. Разделить обе части уравнения на
а) cos x ≠ 0;
б) cos 2 x ≠ 0;
и получить уравнение относительно tg x:
а) a tg x + b = 0;
б) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.
Шаг 3. Решить уравнение известными способами.
Пример.
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4 = 0.
Решение.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) Пусть tg x = t, тогда
t 2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 или t = -4, значит
tg x = 1 или tg x = -4.
Из первого уравнения x = π/4 + πn, n Є Z; из второго уравнения x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Ответ: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Метод преобразования уравнения с помощью тригонометрических формул
Схема решения
Шаг 1. Используя всевозможные тригонометрические формулы, привести данное уравнение к уравнению, решаемому методами I, II, III, IV.
Шаг 2. Решить полученное уравнение известными методами.
Пример.
sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
Решение.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x · cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x · (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;
Из первого уравнения 2x = π/2 + πn, n Є Z; из второго уравнения cos x = -1/2.
Имеем х = π/4 + πn/2, n Є Z; из второго уравнения x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
В итоге х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Ответ: х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Умения и навыки решать тригонометрические уравнения являются очень 
важными, их развитие требует значительных усилий, как со стороны ученика, так и со стороны учителя.
С решением тригонометрических уравнений связаны многие задачи стереометрии, физики, и др. Процесс решения таких задач как бы заключает в себе многие знания и умения, которые приобретаются при изучении элементов тригонометрии.
Тригонометрические уравнения занимают важное место в процессе обучения математики и развития личности в целом.
Остались вопросы? Не знаете, как решать тригонометрические уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Вы можете заказать подробное решение вашей задачи !!!
Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.
Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.
1. Уравнение `sin x=a`.
При `|a|>1` не имеет решений.
При `|a| \leq 1` имеет бесконечное число решений.
Формула корней: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Уравнение `cos x=a`
При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.
При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.
Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.
3. Уравнение `tg x=a`
Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.
Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Уравнение `ctg x=a`
Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.
Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице
Для синуса:
Для косинуса:
Для тангенса и котангенса:
Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:
Методы решения тригонометрических уравнений
Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:
- с помощью преобразовать его до простейшего;
- решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.
Рассмотрим на примерах основные методы решения.
Алгебраический метод.
В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.
Пример. Решить уравнение: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 — x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
делаем замену: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, тогда `2y^2-3y+1=0`,
находим корни: `y_1=1, y_2=1/2`, откуда следуют два случая:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Ответ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Разложение на множители.
Пример. Решить уравнение: `sin x+cos x=1`.
Решение. Перенесем влево все члены равенства: `sin x+cos x-1=0`. Используя , преобразуем и разложим на множители левую часть:
`sin x — 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Ответ: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Приведение к однородному уравнению
Вначале нужно данное тригонометрическое уравнение привести к одному из двух видов:
`a sin x+b cos x=0` (однородное уравнение первой степени) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однородное уравнение второй степени).
Потом разделить обе части на `cos x \ne 0` — для первого случая, и на `cos^2 x \ne 0` — для второго. Получим уравнения относительно `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, которые нужно решить известными способами.
Пример. Решить уравнение: `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=1`.
Решение. Запишем правую часть, как `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени, разделим его левую и правую части на `cos^2 x \ne 0`, получим:
`\frac {sin^2 x}{cos^2 x}+\frac{sin x cos x}{cos^2 x} — \frac{2 cos^2 x}{cos^2 x}=0`
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Введем замену `tg x=t`, в результате `t^2 + t — 2=0`. Корни этого уравнения: `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогда:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.
Ответ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Переход к половинному углу
Пример. Решить уравнение: `11 sin x — 2 cos x = 10`.
Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Применив описанный выше алгебраический метод, получим:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Ответ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Введение вспомогательного угла
В тригонометрическом уравнении `a sin x + b cos x =c`, где a,b,c — коэффициенты, а x — переменная, разделим обе части на `sqrt {a^2+b^2}`:
`\frac a{sqrt {a^2+b^2}} sin x +` `\frac b{sqrt {a^2+b^2}} cos x =` `\frac c{sqrt {a^2+b^2}}`.
Коэффициенты в левой части имеют свойства синуса и косинуса, а именно сумма их квадратов равна 1 и их модули не больше 1. Обозначим их следующим образом: `\frac a{sqrt {a^2+b^2}}=cos \varphi`, ` \frac b{sqrt {a^2+b^2}} =sin \varphi`, `\frac c{sqrt {a^2+b^2}}=C`, тогда:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Подробнее рассмотрим на следующем примере:
Пример. Решить уравнение: `3 sin x+4 cos x=2`.
Решение. Разделим обе части равенства на `sqrt {3^2+4^2}`, получим:
`\frac {3 sin x} {sqrt {3^2+4^2}}+` `\frac{4 cos x}{sqrt {3^2+4^2}}=` `\frac 2{sqrt {3^2+4^2}}`
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
Обозначим `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Так как `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, то в качестве вспомогательного угла возьмем `\varphi=arcsin 4/5`. Тогда наше равенство запишем в виде:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Применив формулу суммы углов для синуса, запишем наше равенство в следующем виде:
`sin (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Ответ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Дробно-рациональные тригонометрические уравнения
Это равенства с дробями, в числителях и знаменателях которых есть тригонометрические функции.
Пример. Решить уравнение. `\frac {sin x}{1+cos x}=1-cos x`.
Решение. Умножим и разделим правую часть равенства на `(1+cos x)`. В результате получим:
`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {(1-cos x)(1+cos x)}{1+cos x}`
`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {1-cos^2 x}{1+cos x}`
`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {sin^2 x}{1+cos x}`
`\frac {sin x}{1+cos x}-` `\frac {sin^2 x}{1+cos x}=0`
`\frac {sin x-sin^2 x}{1+cos x}=0`
Учитывая, что знаменатель равным быть нулю не может, получим `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Приравняем к нулю числитель дроби: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!
Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.
