При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения . Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.
Следует также помнить, что вместо a и b в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.
Разность квадратов
Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)
Квадрат суммы
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел , не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:
Найти 112 2 .
Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.2
112 = 100 + 1
Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
112 2 = (100 + 12) 2
Воспользуемся формулой квадрата суммы:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544
Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.
(8a + с) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2
Предостережение!!!
(a + b) 2 не равно a 2 + b 2
Квадрат разности
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:
(a - b)
2
= (b - a)
2
Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:
(a - b)
2
= a
2
- 2ab + b
2
= b
2
- 2ab + a
2
= (b - a)
2
Куб суммы
Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.
Выучите, что в начале идёт a 3 .
Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3.
В
спомним, что любое число в нулевой степени есть 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Легко заметить, что в формуле идёт понижение степени a и увеличение степени b. В этом можно убедиться:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Предостережение!!!
(a + b) 3 не равно a 3 + b 3
Куб разности
Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и «-». Перед первым членом a 3 стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять «-», затем опять «+» и т.д.
(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
Сумма кубов ( Не путать с кубом суммы!)
Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.
a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)
Сумма кубов - это произведение двух скобок.
Первая скобка - сумма двух чисел.
Вторая скобка - неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:
A 2 - ab + b 2
Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.
Разность кубов (Не путать с кубом разности!!!)
Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.
a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)
Будьте внимательны при записи знаков. Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.
Легкий способ запомнить формулы сокращенного умножения, или… Треугольник Паскаля.
Трудно запоминаются формулы сокращенного умножения? Делу легко помочь. Нужно просто запомнить, как изображается такая простая вещь, как треугольник Паскаля. Тогда вы вспомните эти формулы всегда и везде, вернее, не вспомните, а восстановите.
Что же такое треугольник Паскаля? Этот треугольник состоит из коэффициентов, которые входят в разложение любой степени двучлена вида в многочлен.
Разложим, например, :
В этой записи легко запоминается, что вначале стоит куб первого, а в конце - куб второго числа. А вот что посередине - запоминается сложно. И даже то, что в каждом следующем слагаемом степень одного множителя все время уменьшается, а второго - увеличивается - несложно заметить и запомнить, труднее дело обстоит с запоминанием коэффициентов и знаков (плюс там или минус?).
Итак, сначала коэффициенты. Не надо их запоминать! На полях тетрадки быстренько рисуем треугольник Паскаля, и вот они - коэффициенты, уже перед нами. Рисовать начинаем с трех единичек, одна сверху, две ниже, правее и левее - ага, уже треугольник получается:
Первая строка, с одной единичкой - нулевая. Потом идет первая, вторая, третья и так далее. Чтобы получить вторую строку, нужно по краям снова приписать единички, а в центре записать число, полученное сложением двух чисел, стоящих над ним:
Записываем третью строку: опять по краям единицы, и опять, чтобы получить следующее число в новой строке, сложим числа, стоящие над ним в предыдущей:
Как вы уже догадались, мы получаем в каждой строке коэффициенты из разложения двучлена в многочлен:
Ну а знаки запомнить еще проще: первый - такой же, как в раскладываемом двучлене (раскладываем сумму - значит, плюс, разность - значит, минус), а дальше знаки чередуются!
Вот такая это полезная штука - треугольник Паскаля. Пользуйтесь!
Умножение многочлена на многочлен
! Чтобы умножить многочлен на многочлен , нужно каждое слагаемое одного многочлена умножить на каждое слагаемое другого многочлена и полученные произведения сложить.
Будьте внимательны! У каждого слагаемого есть свой знак.
Формулы сокращённого умножения
многочленов - это, как правило, 7 (семь) часто встречающихся случаев умножения многочленов.
Определения и Формулы сокращенного умножения. Таблица
Три формулы сокращенного умножения для квадратов
1. Формула квадрата суммы.
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Чтобы лучше понять формулу, сначала упростим выражение (развернем формулу квадрата суммы)
А теперь разложим на множители (свернем формулу)
Последовательность действий при разложении на множители:
- определи, какие одночлены возводились в квадрат (5 и 3m );
- проверь, стоит ли в середине формулы их удвоенное произведение (2 5 3m = 30m );
- запиши ответ (5 + 3m) 2 .
2. Формула квадрата разности
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Сначала упростим выражение (развернем формулу):
А потом наоборот, разложим на множители (свернем формулу):
3. Формула разности квадратов
Произведение суммы двух выражений на их разность равно разности квадратов этих выражений.
Свернем формулу (выполним умножение)
А теперь развернем формулу (разложим на множители)
Четыре формулы сокращенного умножения для кубов
4. Формула куба суммы двух чисел
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
Последовательность действий при «сворачивании» формулы:
- найти одночлены, которые возводились в куб (здесь 4х и 1 );
- проверить средние слагаемые на соответствие формуле;
- записать ответ.
5. Формула куба разности двух чисел
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
6. Формула суммы кубов
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.
И обратно:
7. Формула разности кубов
Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.
Применение формул сокращенного умножения. Таблица
Пример использования формул на практике (устный счет).
Задача: Найти площадь квадрата со стороной а = 71 см.
Решение: S = a 2 . Используя формулу квадрата суммы, имеем
71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2*70*1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041 см 2
Ответ: 5041 см 2
На данном уроке мы познакомимся с формулами квадрата суммы и квадрата разности и выведем их. Формулу квадрата суммы докажем геометрически. Кроме того, решим много различных примеров с применением этих формул.
Формулировка темы урока
Рас-смот-рим фор-му-лу квад-ра-та суммы:
Выведение и доказательство формулы квадрата суммы
Итак, мы вы-ве-ли фор-му-лу квад-ра-та суммы:
Сло-вес-но эта фор-му-ла вы-ра-жа-ет-ся так: квад-рат суммы равен квад-ра-ту пер-во-го числа плюс удво-ен-ное про-из-ве-де-ние пер-во-го числа на вто-рое плюс квад-рат вто-ро-го числа.
Дан-ную фор-му-лу легко пред-ста-вить гео-мет-ри-че-ски.
Рас-смот-рим квад-рат со сто-ро-ной :
Пло-щадь квад-ра-та.
С дру-гой сто-ро-ны, этот же квад-рат можно пред-ста-вить иначе, раз-бив сто-ро-ну на а и b (рис. 1).
Рис. 1. Квад-рат
Тогда пло-щадь квад-ра-та можно пред-ста-вить в виде суммы пло-ща-дей:
По-сколь-ку квад-ра-ты были оди-на-ко-вы, то их пло-ща-ди равны, зна-чит:
Итак, мы до-ка-за-ли гео-мет-ри-че-ски фор-му-лу квад-ра-та суммы.
Решение примеров на формулу квадрат суммы
Рас-смот-рим при-ме-ры:
При-мер 1:
Ком-мен-та-рий: при-мер решен с при-ме-не-ни-ем фор-му-лы квад-ра-та суммы.
При-мер 2:
При-мер 3:
Выведение формулы квадрата разности
Вы-ве-дем фор-му-лу квад-ра-та раз-но-сти:
Итак, мы вы-ве-ли фор-му-лу квад-ра-та раз-но-сти:
Сло-вес-но эта фор-му-ла вы-ра-жа-ет-ся так: квад-рат раз-но-сти равен квад-ра-ту пер-во-го числа минус удво-ен-ное про-из-ве-де-ние пер-во-го числа на вто-рое плюс квад-рат вто-ро-го числа.
Решение примеров на формулу квадрат разности
Рас-смот-рим при-ме-ры:
При-мер 4:
При-мер 5:
При-мер 6:
Фор-му-лы квад-ра-та суммы и квад-ра-та раз-но-сти могут ра-бо-тать как слева на-пра-во, так и спра-ва на-ле-во. При ис-поль-зо-ва-нии слева на-пра-во это будут фор-му-лы со-кра-щен-но-го умно-же-ния, они при-ме-ня-ют-ся при вы-чис-ле-нии и пре-об-ра-зо-ва-нии при-ме-ров. А при ис-поль-зо-ва-нии спра-ва на-ле-во - фор-му-лы раз-ло-же-ния на мно-жи-те-ли.
Рас-смот-рим при-ме-ры, в ко-то-рых нужно раз-ло-жить за-дан-ный мно-го-член на мно-жи-те-ли, при-ме-няя фор-му-лы квад-ра-та суммы и квад-ра-та раз-но-сти. Для этого нужно очень вни-ма-тель-но по-смот-реть на мно-го-член и опре-де-лить, как имен-но его пра-виль-но раз-ло-жить.
Решение примеров на разложение многочлена на множители
При-мер 7:
Ком-мен-та-рий: для того, чтобы раз-ло-жить мно-го-член на мно-жи-те-ли, нужно опре-де-лить, что пред-став-ле-но в дан-ном вы-ра-же-нии. Итак, мы видим квад-рат и квад-рат еди-ни-цы. Те-перь нужно найти удво-ен-ное про-из-ве-де-ние - это . Итак, все необ-хо-ди-мые эле-мен-ты есть, нужно толь-ко опре-де-лить, это квад-рат суммы или раз-но-сти. Перед удво-ен-ным про-из-ве-де-ни-ем стоит знак плюс, зна-чит, перед нами квад-рат суммы.
При-мер 8:
При-мер 9:
Ком-мен-та-рий : для ре-ше-ния дан-но-го при-ме-ра нужно вы-не-сти минус за скоб-ки, чтобы можно было уви-деть нуж-ную нам фор-му-лу.
Решение различных типовых задач на применение формул квадрата суммы и разности
Пе-рей-дем к ре-ше-нию урав-не-ний:
При-мер 10:
Ком-мен-та-рий : для ре-ше-ния дан-но-го урав-не-ния нужно упро-стить левую часть, при-ме-няя фор-му-лу раз-но-сти квад-ра-тов и квад-ра-та раз-но-сти, после этого при-ве-сти по-доб-ные члены. После этого пе-ре-не-сти все неиз-вест-ные в левую часть, а сво-бод-ный член в пра-вую и ре-шить эле-мен-тар-ное ли-ней-ное урав-не-ние.
При-мер 11:
Вы-чис-лить: .
Ком-мен-та-рий : для ре-ше-ния дан-но-го при-ме-ра нужно при-ме-нить фор-му-лы раз-но-сти квад-ра-тов и квад-ра-та суммы, после этого со-кра-тить по-лу-чен-ную дробь.
При-мер 12:
До-ка-зать ра-вен-ство:
Раз-ло-жим на мно-жи-те-ли :
Из каж-до-го мно-жи-те-ля вы-не-сем минус еди-ни-цу за скоб-ки:
Мы до-ка-за-ли ра-вен-ство (a - b)2 = (b - a)2.
Дан-ное ра-вен-ство яв-ля-ет-ся очень по-лез-ным при упро-ще-нии вы-ра-же-ний. Рас-смот-рим при-мер.
При-мер 13:
Раз-ло-жить на мно-жи-те-ли: .
При-мер 14:
До-ка-жи-те, что квад-рат вся-ко-го нечет-но-го числа, умень-шен-ный на еди-ни-цу, де-лит-ся на во-семь.
Пред-ста-вим про-из-воль-ное нечет-ное число как , а его квад-рат, со-от-вет-ствен-но, как . За-пи-шем вы-ра-же-ние со-глас-но усло-вию:
Упро-стим по-лу-чен-ное вы-ра-же-ние:
Чтобы до-ка-зать, что по-лу-чен-ное вы-ра-же-ние крат-но вось-ми, нам нужно до-ка-зать, что оно де-лит-ся на 2 и на 4. Оче-вид-но, что вы-ра-же-ние крат-но че-ты-рем, так как в нем есть мно-жи-тель 4. По-это-му нам нужно до-ка-зать, что де-лит-ся на 2.
За-пись - это про-из-ве-де-ние двух по-сле-до-ва-тель-ных чисел, а оно все-гда крат-но двум, так как из двух по-сле-до-ва-тель-ных чисел одно все-гда будет чет-ным, а вто-рое, со-от-вет-ствен-но, нечет-ным, а про-из-ве-де-ние чет-но-го числа на нечет-ное крат-но двум, зна-чит, вы-ра-же-ние крат-но вось-ми. Итак, мы до-ка-за-ли, что квад-рат вся-ко-го нечет-но-го числа, умень-шен-ный на еди-ни-цу, де-лит-ся на во-семь.
Выводы по уроку
Вывод : на дан-ном уроке мы вы-ве-ли фор-му-лы квад-ра-та суммы и квад-ра-та раз-но-сти и на-учи-лись ре-шать самые раз-но-об-раз-ные за-да-чи на при-ме-не-ние этих фор-мул.
На данном уроке мы вспомним выученные ранее формулы сокращенного умножения, а именно квадрата суммы и квадрата разности. Выведем формулу разности квадратов и решим много различных типовых задач на применение этой формулы. Кроме того, решим задачи на комплексное применение нескольких формул.
Формулировка темы и цели урока и напоминание материала предыдущего урока
На-пом-ним, что на преды-ду-щем уроке мы рас-смот-ре-ли фор-му-лы квад-ра-та суммы и квад-ра-та раз-но-сти. За-пи-шем их:
Вывод формулы разности квадратов
Вы-ве-дем фор-му-лу раз-но-сти квад-ра-тов. Вы-пол-ним умно-же-ние дву-чле-нов по пра-ви-лу:
Сло-вес-но дан-ная фор-му-ла вы-гля-дит так: раз-ность квад-ра-тов двух вы-ра-же-ний равна про-из-ве-де-нию суммы этих вы-ра-же-ний на их раз-ность.
Мы на-зы-ва-ем раз-но-стью квад-ра-тов.
Мы на-зы-ва-ем квад-ра-том раз-но-сти, не сле-ду-ет пу-тать два этих вы-ра-же-ния.
Примеры прямого использования формулы и формулировка стандартной ошибки
Рас-смот-рим при-ме-не-ние фор-мул в ти-по-вых за-да-чах. Нач-нем с задач на пря-мое при-ме-не-ние фор-му-лы.
При-мер 1: 
.
При-мем за , за , по-лу-чим:
.
Рас-пи-шем со-глас-но фор-му-ле:
Пе-рей-дем к ис-ход-ным пе-ре-мен-ным:
Стан-дарт-ная ошиб-ка:
по-ме-ня-ем в скоб-ке со зна-ком плюс сла-га-е-мые ме-ста-ми, по-лу-чим:
.
Часто при такой за-пи-си пу-та-ют, какой квад-рат сле-ду-ет вы-честь из ка-ко-го:
Решение примеров на прямое применение формулы
При-мер 2:
Ком-мен-та-рий : если воз-ни-ка-ют за-труд-не-ния, можно, ана-ло-гич-но преды-ду-ще-му при-ме-ру, за-ме-нить одно из вы-ра-же-ний на а, а вто-рое на b, чтобы легче было уви-деть нуж-ную фор-му-лу.
При-мер 3:
Ком-мен-та-рий : в дан-ном при-ме-ре сле-ду-ет быть вни-ма-тель-ны-ми и не до-пу-стить ти-по-вую ошиб-ку, опи-сан-ную выше. Для этого удоб-но в пер-вой скоб-ке по-ме-нять сла-га-е-мые ме-ста-ми.
Пе-рей-дем к за-да-чам на об-рат-ное при-ме-не-ние фор-му-лы - раз-ло-же-ние на мно-жи-те-ли.
При-мер 4:
Ком-мен-та-рий: при-мер решен из опре-де-ле-ния раз-но-сти квад-ра-тов. Нужно толь-ко опре-де-лить, квад-ра-том ка-ко-го вы-ра-же-ния яв-ля-ет-ся пер-вый од-но-член и вто-рой.
При-мер 5:
При-мер 6:
Ком-мен-та-рий : в дан-ном при-ме-ре нужно несколь-ко раз при-ме-нить изу-ча-е-мую фор-му-лу. Может быть за-да-но из по-лу-чен-ной в конце длин-ной фор-му-лы по-лу-чить стан-дарт-ный вид мно-го-чле-на, тогда нужно по-сте-пен-но пе-ре-мно-жать скоб-ки между собой и сво-ра-чи-вать вы-ра-же-ние до про-стей-ше-го.
Примеры на комплексное применение нескольких формул
Сле-ду-ю-щий тип задач - ком-би-ни-ро-ван-ное при-ме-не-ние несколь-ких фор-мул.
При-мер 7 - упро-стить:
Ком-мен-та-рий: в дан-ном при-ме-ре нужно при-ме-нить две фор-му-лы: раз-но-сти квад-ра-тов и квад-ра-та раз-но-сти, в по-лу-чен-ном вы-ра-же-нии при-ве-сти по-доб-ные члены.
При-мер 8:
Решение уравнений и вычислительных задач
Пе-рей-дем к ре-ше-нию урав-не-ний.
При-мер 9:
Рас-смот-рим вы-чис-ли-тель-ные за-да-чи.
При-мер 10:
При-мер 11:
Выводы по уроку и домашнее задание
Вывод : на дан-ном уроке мы вы-ве-ли фор-му-лу раз-но-сти квад-ра-тов и ре-ши-ли много раз-лич-ных при-ме-ров, а имен-но урав-не-ния, вы-чис-ли-тель-ные за-да-чи, за-да-ния на пря-мое и об-рат-ное ис-поль-зо-ва-ние вы-ве-ден-ной фор-му-лы и дру-гие. Кроме того, ре-ши-ли несколь-ко задач на ком-плекс-ное при-ме-не-ние несколь-ких фор-мул.
На данном уроке мы продолжим изучать формулы сокращенного умножения, а именно рассмотрим формулы разности и суммы кубов. Кроме того, мы решим различные типовые задачи на применение данных формул.
Выведение формулы разности кубов
При изу-че-нии фор-мул со-кра-щен-но-го умно-же-ния мы уже изу-чи-ли:
Квад-рат суммы и раз-но-сти;
Раз-ность квад-ра-тов.
Вы-ве-дем фор-му-лу раз-но-сти кубов.
Наша за-да-ча - до-ка-зать, что при рас-кры-тии ско-бок в пра-вой части и при-ве-де-нии по-доб-ных сла-га-е-мых мы при-дем в ре-зуль-та-те к левой части.
Вы-ра-же-ние на-зы-ва-ет-ся непол-ным квад-ра-том суммы, так как от-сут-ству-ет двой-ка перед про-из-ве-де-ни-ем вы-ра-же-ний.
Выведение формулы суммы кубов
Опре-де-ле-ние
Раз-ность кубов двух вы-ра-же-ний есть про-из-ве-де-ние раз-но-сти этих вы-ра-же-ний на непол-ный квад-рат их суммы.
Вы-ве-дем фор-му-лу суммы кубов.
Вы-пол-ня-ем умно-же-ние мно-го-чле-нов:
Что и тре-бо-ва-лось до-ка-зать.
Вы-ра-же-ние на-зы-ва-ет-ся непол-ным квад-ра-том раз-но-сти, так как от-сут-ству-ет двой-ка перед про-из-ве-де-ни-ем вы-ра-же-ний.
Задачи на упрощение выражений
Опре-де-ле-ние
Сумма кубов двух вы-ра-же-ний есть про-из-ве-де-ние суммы этих вы-ра-же-ний на непол-ный квад-рат их раз-но-сти.
При-мер 1 - упро-стить вы-ра-же-ние:
Пусть и , имеем:
Это изу-ча-е-мая фор-му-ла - раз-но-сти кубов:
При-мер 2 - упро-стить вы-ра-же-ние:
Пусть и , имеем:
Это изу-ча-е-мая фор-му-ла - суммы кубов.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Математические выражения (формулы) сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне не заменимы во многих областях точных наук. Эти 7 символьных записей не заменимы при упрощении выражений, решении уравнений, при умножении многочленов, сокращении дробей , решении интегралов и многом другом. А значит будет очень полезно разобраться как они получаются, для чего они нужны, и самое главное, как их запомнить и потом применять. Потом применяя формулы сокращенного умножения на практике самым сложным будет увидеть, что есть х и что есть у. Очевидно, что никаких ограничений для a и b нет, а значит это могут быть любые числовые или буквенные выражения.
И так вот они:
Первая х 2 - у 2 = (х - у) (х+у) .Чтобы рассчитать разность квадратов двух выражений надо перемножить разности этих выражений на их суммы.
Вторая (х + у) 2 = х 2 + 2ху + у 2 . Чтобы найти квадрат суммы двух выражений нужно к квадрату первого выражения прибавить удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Третья (х - у) 2 = х 2 - 2ху + у 2 . Чтобы вычислить квадрат разности двух выражений нужно от квадрата первого выражения отнять удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Четвертая (х + у) 3 = х 3 + 3х 2 у + 3ху 2 + у 3. Чтобы вычислить куб суммы двух выражений нужно к кубу первого выражения прибавить утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
Пятая (х - у) 3 = х 3 - 3х 2 у + 3ху 2 - у 3 . Чтобы рассчитать куб разности двух выражений необходимо от куба первого выражения отнять утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
Шестая х 3 + у 3 = (х + у) (х 2 - ху + у 2) Чтобы высчитать сумму кубов двух выражений нужно умножить суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.
Седьмая х 3 - у 3 = (х - у) (х 2 + ху + у 2) Чтобы произвести вычисление разности кубов двух выражений надо умножить разность первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.
Не сложно запомнить, что все формулы применяются для произведения расчетов и в противоположном направлении (справа налево).
О существовании этих закономерностей з нали еще около 4 тысяч лет тому назад. Их широко применяли жители древнего Вавилона и Египта. Но в те эпохи они выражались словесно или геометрически и при расчетах не использовали буквы.
Разберем доказательство квадрата суммы (а + b) 2 = a 2 +2ab +b 2 .
Первым эту математическую закономерность доказал древнегреческий учёный Евклид, работавший в Александрии в III веке до н.э., он использовал для этого геометрический способ доказательства формулы, так как буквами для обозначения чисел не пользовались и учёные древней Эллады. Ими повсеместно употреблялись не “а 2 ”, а “квадрат на отрезке а”, не “ab”, а “прямоугольник , заключенный между отрезками a и b”.
